吕陶《朝请郎潼川府路提点刑狱杜公墓志铭》，言其先出于唐杜氏甫字子美，唐肃宗时流落剑南，居成都西邻；及下江陵留二子守成都籍，杨子琳之乱，避患奔眉之东山大垭，后有葬青神者，遂为青神人。因此，杜敏求是唐代大诗人杜甫之族子杜位（迁居青神）的后裔，父亲名字失载，自幼家庭教育较好，又聪明好学，七岁就会写诗，成人后以博学多才闻名于眉州。杜敏求之子的名字失载，孙子杜莘老《宋史》有传。《宋史·卷三百八十七·列传第一百四十六·杜莘老传》中说：（杜莘老）眉州青神人，唐工部甫十三世孙也。这也说明杜敏求是杜甫之后。

宋仁宗嘉佑六年（1061），他离家赴汴京(今河南开封市)会考，中进土，被任命为简州（治所在今四川简阳县）司理参军（宋代的官职,掌管刑讼审，为从九品）。后来，杜敏求相继任什邡县令、成都府教授。请罢去，改差通判定州（河北省定州市）。迁朝请郎（文散官名，隋始置，宋朝时是正七品上）、太学（太学为最高学府）博士，除梓州路转运判官，移潼川府路提点刑狱。为官清廉正直。宋徽宗建中靖国元年卒於官，年六十三。关于杜敏求的生卒年：上面说他“徽宗建中靖国（即1101年）元年卒於官”，前面又说他“移潼川府路提点刑狱”，而潼川府路是1118年才成立的，因此，关于杜敏求的生卒年有关资料的记载有点冲突，只能是大概，不能确定。

杜敏求有文集三十卷，已佚。事见《净德集》（《丛书集成初编》本）卷二四《朝请郎潼川府路提点刑狱杜公墓志铭》。《全宋诗》今录杜敏求诗十首。运司园亭·西园潭潭刺史府，宛在城市中。谁知园亭胜，似与山林同。幽鸟语晴画，好花娇春风。物情如有待，赋咏属诗翁。运司园亭·月台明从海上来，皎皎入我牖。何如登高台，对月把尊酒。问月月无言。浩歌诗千首，几人知此乐，此乐公所有。运司园亭·湲玉亭林亭幽且深，砌下玉溪水。淙琤环佩声，晓夕清心耳。使君性所乐，爱玩不少已。方持利物心，默坐穷至理。句农夫苦相问，燮理是何人。